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概率论与数理统计
预备课：排列组合
组合
加法原理：几种方案
乘法原理：分几步
排列
不重复排列：从n个不同元素中取出m个，不同排列。$P_n^m$=$n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$=$\frac{n!}{(n-m)!}$
全排列：所有情况。$P_n^n=n(n-1)...321=n!$
可重复排列：从n个不同元素中取出m个，可同排列。$nnn...*n=n^m$
组合：从n个不同元素中取出m个。
$$C_n^m = \frac{P_n^m}{m!} = \frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m(m-1)*...21} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$
$$ C_n^m = C_n^{n-m} $$
$$C_n^0 = C_n^n = 1$$
引言
几个概念：
确定性（必然）:一定发生或一定不发生
随机(偶然):可能发生，可能不发生
统计规律：使用大量统计数据，尝试得到其中的规律
事件
随机事件
试验：观测、实验、测量等等
随机实验(使用 E 表示)：
①在相同条件下可重复
②结果不止一个
③无法预测
事件：每种结果。随机事件A/B/C
基本事件：不能(或不必)再分。这是相对于实验目的来讲。
复合事件：由基本事件复合。
必然事件：每次试验必然发生
不可能事件：每次试验必然不发生
样本空间：所有基本事件的集合
样本点：样本空间中的元素(基本事件)
事件间的关系
假设有两个事件 A、B，他们之间的关系有六种
①相互独立，互不相容
②相互重合，完全一样
③A 包含 B (或 B 包含 A )
④A 交 B (或 B 交 A )
⑤并集。A 并 B (B 并 A)
⑥差集。A 与 B的差(B 与 A的差)
此外还有，根据发生的条件，还有两种特殊的关系
①互不相容事件，即A、B不同时发生
②对立事件，即A和B共同组成全集，当其中一个发生的时候，另一个必定不发生
完备事件组：n个事件组成整个集，但是他们之间两两互不相容。这样的事件集合叫做完备事件组。
运算律
- 交换律
A∪B=B∪A A∩B=B∩A
- 结合律 $$ (A∪B)∪C=A∪(B∪C) $$ $$ (A∩B)∩C=A∩(B∩C) $$
- 分配律
$$ (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) $$ $$ (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C) $$
- 对偶律
$$ \overline{A∪B}=\overline{A}∩\overline{B} $$
事件的概率
上一节研究的是事件，接下来研究事件的概率
假设有事件A，那么概率意味着事件A发生的概率。比如扔硬币求正反，可以假设事件A为正面朝上，事件B为反面朝上；也可以假设事件A为出现正面，事件B为不出现正面。此时，概率可以用P(A)或者P(B)来表示。
尽管"不出现正面"和"反面朝上"这两种描述在现实情况中是一样，但有时事件的设置恰当与否很可能带来不同的结果。
概率的性质
$$ P(Ω)=1 \qquad P(∅)=0 $$
$$ 0 ≤ P(A) ≤ 1 $$
古典概型
条件：
① 有限个样本点；② 等可能性
$$ P(A)=\frac{A的有利样本点}{Ω中样本点总数}=\frac{A中包含的基本事件数}{基本事件总数} $$
性质：
① 非负性 ② 规范性：P(Ω)=1,p(∅)=0 ③ 有限可加：A1...An互不相容，P(A1+...+An) = P(A1)+...P(An)
缺点：
① 有限个结果 ② 结果必须等可能
几何概型
可转化为可视化图形的概率问题
$$P(A) = \frac{μ(G)}{μ(Ω)}$$
公理化
条件概率
在一个样本空间(Ω)中， 有A、B两个事件，P(B)>0。在B已经发生的条件下A发生的概率，即A对B的条件概率，表示为P(A|B)。
以样本点来看有以下公式
$$ P(A|B) = \frac{n_{AB}}{n_B} $$
以概率来看有以下公式
$$ P(A|B) = \frac{n_{AB}/n}{n_B/n} = \frac{P(AB)}{P(B)} $$
乘法公式
$P(A|B)=\frac{P(A)}{P(B)}=P(B)P(A|B),P(A)>0,P(B)>0$
$P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)$
伯努利模型
独立实验，所有的结果是独立的，且结果只有两种
定理：
A的概率P，$(0<P<1),\overline{A}:1-P$
n重伯努利中A发生K次，二项概率公式
$P_n(K) = C_n^K(1-P)^{n-k}=C_n^KP^Kq^{n-K},q=1-P$
第二章
随机变量
定义：有样本空间Ω，有X=X(w)，